【高校入試対策】二次方程式で点数が伸びない理由｜３つの解法とその選び方

一次方程式や連立方程式は解けていたのに、
二次方程式に入ってから急に点数が取れなくなった…。

「二次方程式で安定して得点できない」は多くの中学生に共通する悩みです。

二次方程式で得点できない理由は大きく分けて２つあります。

• 解法が3種類ある
• 使い分けができていない

これらが「点数が伸びない原因」です。

この記事では、これら２つの対策について、
中学生にもわかりやすく解説します。

二次方程式の勉強法に悩んでいる中学生はこの記事を読んで、
高校入試や定期テストに向けて解決しましょう！

中学数学｜二次方程式が難しい理由は？

二次方程式が難しく感じる大きな原因は、解き方が１つではないことです。

二次方程式には、主に次の３つの解法があります。

一次方程式のように「両辺を同じ数で操作していけば解ける」という単純な流れではありません。

問題文や式の形に応じて、どの解法を使うかを自分で選ぶ必要があるため、混乱しやすくなります。

さらに、

• 符号の間違い
• 約分忘れ
• 途中式の省略

など、二次方程式の計算過程には、
ケアレスミスが起きやすい要因がたくさんあります。

「ミスしやすいポイント」をおさえることも、
二次方程式をクリアするうえで重要なポイントです。

中学生必見｜二次方程式の３つの解法

まずは二次方程式の３つの解法を紹介します。

各解法についてその名前と式変形の流れをチェックしましょう。

因数分解を利用する解法

二次方程式を

$(x +〇) (x-△)=0$

の形にして、
それぞれのかっこの中身を０とおく方法です。

例：

$x²−5x+6＝0$

$(x -2) (x-3)=0$

$x＝2、x＝3$

これは計算の流れが短く、最もスピーディーに解ける方法です。

ただし、因数分解できない場合は使えないので、見極めが大切です。

解の公式を利用する解法

二次方程式 $ax²+bx+c＝0$ を

$x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

の形で解く方法です。

例：

$3x²+x-1＝0$

$x=\dfrac{-1±\sqrt{(-1)^2-4 \times 3 \times (-1)}}{6}$

$x=\dfrac{-1±\sqrt{13}}{6}$

因数分解できない問題や、数字が複雑な問題でも確実に答えが出せることが最大の強みです。

一方で、

• 公式の暗記が曖昧
• √の中の計算ミス
• 約分忘れ

など計算間違えを誘発するポイントも多いので注意が必要です。

平方完成を利用する解法

平方完成は、式を

$(x＋○)²＝□$

の形に変形してから解く方法です。

例：

$(x-2)^2＝3$

$x-2＝±\sqrt{3}$

$x＝2±\sqrt{3}$

この方法は少し慣れが必要ですが、
すでに平方の形に近い式が与えられている場合では
最速で解ける可能性が高いです。

あえて平方を作るというよりは、
すでに平方が出来上がっているときの特殊な処理法として位置づけましょう。

二次方程式でよくあるミス

二次方程式が苦手な生徒の多くは、「考え方」が分かっていないのではありません。

実は、計算途中の小さなミスで失点しているだけというケースがほとんどです。

ここでは代表的なミスを紹介します。

因数分解の符号間違え

$x^2-x-6=0$ の場合

$(x+2)(x-3)=0$ と因数分解すべきところを

$(x-2)(x+3)=0$ のように符号を逆にしてしまうミスがよく見られます。

因数分解した式は頭の中で展開して、
もとの式とあっているかチェックするように心がけましょう！

解の公式の√の処理・約分忘れ

$3x²+4x-1＝0$ を解の公式で解く際に

$x=\dfrac{-4±\sqrt{16+12}}{6}$

$x=\dfrac{-4±\sqrt{28}}{6}$

これで終わってしまっては×です。

$\sqrt{28}$ は $2\sqrt7$ にできるので

$x=\dfrac{-4±2\sqrt{7}}{6}$

… ここで終わってしまっても実は×です。

この式は２で約分できます。

$x=\dfrac{-2±\sqrt{7}}{3}$

• √を簡単にできないか
• 分数の約分ができないか

これら２点は必ず点検しましょう！

二次方程式の３つの解法の選び方

ここまでで、各解法とよくあるミスを紹介しました。

次は実際に二次方程式を解くときに、
３つのうちどの解法を使えばよいかの選び方を解説します。

すでに平方が作られている場合は平方完成

これは特殊なケースなのではじめに仕分けましょう。

$(2x＋1)²＝5$

このようにすでに平方が作られて出題された場合は
平方完成の解法を用いましょう。

この式を展開して、整理して、解の公式を使う。

これはかなり効率が悪いだけでなく、計算ミスも起きやすいので注意しましょう。

基本的には因数分解を疑う

まずは「これ、因数分解できないかな？」
と考えるクセをつけましょう。

$x^2-x-6=0$ これは因数分解できる！

$x^2-x-3=0$ これは因数分解できない！

因数分解の問題数をたくさんこなすことで
因数分解できる形を覚えることが第一です。

$x^2-10x-96=0$

この数字の並びはあまり見慣れないですが、
安易に解の公式を使うとかなり大変な計算に取り組むことになります。

$x^2-10x-96=0$

$x=\dfrac{10±\sqrt{100+384}}{2}$

$x=\dfrac{10±\sqrt{484}}{2}$

$x=\dfrac{10±22}{2}$

$x=-6, 16$

ではどうするのかというと…

$1-96$
$2-48$
$3-32$
$4-24$
$6-16$ ← 差が10！
$8-12$

$(x+6)(x-16)=0$
$x=-6,16$

このように、かけて96になる組み合わせを書き出して
差が10になるものを見つけることをおすすめします。

因数分解できない形・もしくは迷ったら解の公式

上の二つのパターンに当てはまらない場合は解の公式を使いましょう。

解の公式を使う場合は√の処理と分数の約分に必ず注意してください。

解法の選び方まとめ

与えられた式にすでに平方ができていたら平方完成。

基本的には因数分解を疑う。

因数分解ができないときは解の公式。

解の公式は便利な反面、計算量が多く計算ミスが起きやすいです。

解の公式を回避できる場合は他の解法を用いる、
これを意識しましょう！

応用編｜計算が楽になる２つのパターン

中学校では習わないものの、計算が楽になる２つのパターンについて紹介します。

初見の人は「こういう解法もあるのか～」と頭の片隅に残しておきましょう。

実は因数分解できる形

$2x^2-x-6=0$

x² の係数が１でない場合は解の公式、
これが基本的な流れですが

$2x^2-x-6=0$
$(x-2)(2x+3)=0$

実はこの式は因数分解ができます。

これは高校１年生で習う因数分解です。

中学３年生の夏休みまでに中学数学全範囲の予習が終わった場合は、
このような応用も学習することをおすすめします。

解の公式（x の係数が偶数）

$2x^2-2x-9=0$

これは解の公式を用いて解きますが、
実はこの時点で解の公式 → √の処理 → 分数の約分 を行うことが確定しています。

$2x^2-2x-9=0$

$x=\dfrac{2±\sqrt{4+72}}{4}$

$x=\dfrac{2±\sqrt{76}}{4}$

$x=\dfrac{2±2\sqrt{19}}{4}$

$x=\dfrac{1±\sqrt{19}}{2}$

ポイントはx の係数が偶数であること。

このようなときは処理数が増えることがあらかじめ分かっています。

確定している面倒な処理はできれば省略したいですよね。

そのためには…

二次方程式 $ax²+2b’x+c＝0$ を

$x=\dfrac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}$

の形で解く。

x 係数が偶数である場合の解の公式を使えば解決します！

実際に使ってみると…

$2x^2-2x-9=0$

$a=2, b’=-1, c=-9$ なので

$x=\dfrac{1±\sqrt{1+18}}{2}$

$x=\dfrac{1±\sqrt{19}}{2}$

解の公式を２パターン覚えられる方は、
ぜひこちらも使えるようにしましょう。

まとめ

二次方程式は

• ３つの解法がある
• 計算ミスが起きやすいポイントがある
• 問題に合わせて解法を選ぶ必要がある

という理由から得点が安定しにくいです。

しかし、ポイントを押さえれば必ず解けるようになります。

まずは解法を選ぶ力をつける → 次に計算ミスを減らす

この順番で練習していきましょう。

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