【高校入試対策】関数とグラフ 動点Pの考え方（１）｜動点を文字で置くと何が起きるのか

グラフ上を動く点「動点Ｐ」

高校入試では定番の難問ですね。

この語句を見ただけで「ウッ」となってしまう方も少なくないのではないでしょうか。

高校入試での目標点を突破するためには動点の問題も解きたいけど、
実際にどうすれば正答できるのかよくわからない…

多くの受験生が数学で抱えている大きな悩みです。

これはそんな受験生に向けた
関数とグラフ 動点Ｐを攻略するための記事です！

「動点P」の絡む問題は多く受験生が苦戦している問題です。

だからこそ、動点Pが攻略できると他の受験生との大きな差を生み出すことができます。

この記事では「動点を含む三角形の面積」を題材として、
上記のことを徹底解説します。

「動点を含む問題でも、定点の問題での考え方が使える」
と納得できることがこの記事を読んでもゴール地点です。

この感覚を身に付けて、動点の問題への苦手意識を克服しましょう！

動点P の座標の置き方

まずは「動点P の座標を実際に文字式で置く」
ということにチャレンジしてみましょう！

ここはまだそれほど難しくないので、安心して進んでください！

まずはこの問題にチャレンジしてみましょう。

点P のx座標をt とすると言われているので

$P(t, □)$

ここまでは確定ですね。
あとはy座標を出すだけ。

ここでカギになるのが
「関数 $y=2x+1$ 上に点P をとる」
という文言。

例えば「関数 $y=2x+1$ 上に$x = 1$の点をとる」と書かれていたら、
y座標はどのように求めますか？

そう、代入ですよね！

$y=2x+1$ に $x = 1$ を代入すると

$y=2+1=3$

このようにy座標を求めることができますね。

x座標がt の時もやるべきことは全く同じです。

$y=2x+1$ に $x = t$ を代入すると

$y=2t+1$

このようにy座標を求めることができますね。
x をt に変えただけなので、数値の代入よりもむしろ簡単ですね！

以上より関数 $y=2x+1$ 上の点Pは

$P(t, 2t+1)$

と表すことができます。

グラフで書くとこのようになります。
（動点P がどこにあるかはわかりませんが、仮の位置として書いてOKです）

これは関数が変わっても同じです。

$y=x^2$ に $x = t$ を代入すると

$y=t^2$

よって$P(t, t^2)$

グラフで書くとこのようになります。
（動点P がどこにあるかはわかりませんが、仮の位置として書いてOKです）

このように、動点を文字式で表すことはかなり簡単に行うことができます。

簡単すぎて拍子抜けしたかもしれませんが
これも動点Pの攻略の大きな一歩です。

次は「なぜ動点の名前はPなのか」、について解説をします。

関数とグラフ｜なぜ動点の名前はPなのか？

動点の問題では、動く点に P という名前が付けられることが非常に多いです。
これは偶然ではなく、数学の中である程度意味を持った慣習です。

まず大前提として、
P は特別な記号ではありません。

A や B、C と同じく「点を表すアルファベット」の一つです。
それでも、動点の名前として P がよく使われるのには理由があります。

「Point」の頭文字としての P

最も素直な理由は、
P は Point（点）の頭文字だからです。

特に、

• 動く点
• 条件によって位置が変わる点
• 仮に置いて考える点

このような「一時的に扱う点」に対して、P が使われることが多くなります。

一方で、

• O（原点）
• A, B, C（最初から位置が決まっている点）

は、定点として扱われることが多いです。

そのため、
「定点は A, B, C、動点は P」
という役割分担が自然にできています。

なぜ x 座標を p ではなく t と置くのか？

「Pという点だから、x = p ではダメですか？」
と聞かれることがたまにあります。

結論から言うと、おすすめしません。

理由は2つあります。

1つ目は、
点Pと文字pが混ざって分かりにくくなること。

2つ目は、
この先、別の点や定数を扱うときに分かりにくくなること。

もう少し問題のレベルが上がると「連動点Q」というものが登場します。
点P に連動して動く点のことです。

実はこの連動点Q は、
x 座標かy座標が 動点P と同じにケースが非常に多いです。

つまりどちらの動点も一種類の文字で表せるということ。

そのため動点の「x座標はt」と固定しておいた方が解答の可動性も上がります。

以上が動点の名前がＰであり、そのx座標がt である理由です。

ここまで読んで
「話は分かったけど、結局なんで動点Ｐを文字で置くの？」
という疑問を持っている方へ。

次は動点Pを文字で置くメリットについて解説をします。

グラフ問題で動点Pの座標を文字で置くメリット

なぜ動点Pが出てくる問題は難しく感じるのでしょうか？

初めのつまずきポイントは
「動点をどう扱えばよいかわからない」
ということだと思います。

これを解決するために、動点の座標を文字で置くのです！

ここで一番大事な考え方を整理します。

点Pは「動点」ですが、

$x=t$

と置いた瞬間、Pは一時的に「定点」になります。

つまり、
動いている点を「ある値 t のときの点」として固定している
ということです。

この瞬間から、
動点を含む問題は、定点の問題と同様に扱えるようになります。

これは具体的にどういうことなのか…

「定点を頂点に持つ三角形」と「動点を頂点に含む三角形」の面積問題で確かめてみましょう！

例題：「定点を頂点に持つ三角形」と「動点を頂点に含む三角形」の面積

二種類の問題について解法を説明します。

これらの問題を通して、
動点P の座標を文字式で表すことで、定点の問題と同じように解ける
ということを体感してください。

「定点を頂点に持つ三角形」の面積

三角形の面積を求めるために、
まずは底辺と高さを値を考えましょう。

辺OB を底辺とみると
$OB=2$ と分かります。

この時の高さh は点A のy座標です。

つまり、$h=4$ です。

ここまでわかれば、あとは面積を計算するのみ。

$S=2\times4\times\frac{1}{2}=4$

よって求める面積は４です。

「動点を頂点に含む三角形」の面積

先ほどと比べて難度が上がったように見えますね。

何をすればいいのか全く分からない、という方もいるかもしれません。

でも安心してしてください。
やるべきことは決まっています。

この記事で何度も言っている
「動点Pの座標を文字で表す」をしましょう！

点P は関数 $y=x^2$ 上なので
点P のx座標をt と置くと

$P(t, t^2)$
と表すことができます。

これは序盤に練習しましたね。

グラフで書くとこのようになります。

点P の座標を文字で置いたことによって、定点の時と同じように解くことができます。

定点の問題を解いたときは、まずは三角形の底辺と高さを求めましたね。
ここでも同じことをしましょう。

辺OB を底辺とみると
$OB=2$ と分かります。

この時の高さh は点P のy座標です。

つまり、$h=t^2$ です。←点P の座標を文字で置いたのでh が表せる！

そうしたら、面積の文字式で表しましょう。

$S=2\times t^2\times\frac{1}{2}=t^2$

よって求める面積は$t^2$です。

ところで、問題設定で
「△OBP の面積が16 のとき」
とあったのを覚えていますか？

これを使えば、先ほどの文字式が方程式になります。

$t^2=16$

この二次方程式を解いてt を求めましょう。
t は０より大きい数なので

$t=4$

これを$P(t, t^2)$に代入すると

$P(4, 16)$

と分かりクリアです。

二つの問題は思った以上に共通点が多かったのではないでしょか。

これらの問題についてもう少し詳しく比較しましょう。

「定点を頂点に持つ三角形」と「動点を頂点に含む三角形」の比較

「定点を頂点に持つ三角形」と「動点を頂点に含む三角形」の面積問題。

どちらも座標から底辺と高さを求めるところは同じでしたね。

さらにそこから面積を計算するところも同じ。

「定点を頂点に持つ三角形」は面積の数値自体が問題だったのでそれを答えて終了。

一方「動点を頂点に含む三角形」は実は面積は数値で与えられていました。

そこから「文字式（面積を表したもの）= 定数（面積の値）」という方程式が得られ、
それを解くことで動点の座標が特定できました。

このように、
動点の問題は「座標を文字で置けば定点の問題と同じように処理できる」
ということが体感できれば今回は目標達成です！

今回扱わなかった問題

今回は、

• 底辺と高さをそのまま求めることができる
• 式を立てると自然に2次方程式になる

問題だけを扱いました。

しかし、実際の入試では、

• 定点が A(-2,0) ではなく B(-2,4) のようにずれる
• 高さがそのまま使えない
• 補助線や工夫が必要

といった問題も出題されます。

それらの問題も「動点の座標を文字で置く」ことが解法のとっかかりになることは同じです。

今回扱った問題がクリア出来たら、次はさらに難しい問題へ取り組みましょう！

まとめ

• 動点問題でも、定点の問題と本質は変わらない
• Pを文字で置けば、面積は式で表せる
• 式になれば、あとは方程式を解けばクリア

まずはこの感覚を、
しっかり身につけてください。

これらが自力で行えるようになれば、動点P攻略は大きく前進です！

次はさらに＋αの要素が含まれる問題にチャレンジしましょう！

【高校入試対策】関数とグラフ 動点Pの考え方（２）｜動点を含む三角形を切る・付け足す