高校数学B「統計的な推測」確率変数の変換が必要な理由｜やさしく解説

確率変数 X を確率変数Y（ = aX + b） に置き換えて考える。

この手順に違和感を感じる学生は、毎年少なくありません。

「なぜわざわざ変換なんてするのだろう？」

「問われているものをそのまま確率変数と置けば、
わざわざ確率変数を置き換える手間を省けるんじゃないか…」

このような疑問を解決することがこの記事の狙いです。

この記事では、確率変数を用いて考える問題について、

これら２つのアプローチで解説をします。

実際の問題演習を通して、なぜ確率変数の変換が必要なのかを体験してください！

確率変数 Y = aX + b の期待値・分散・標準偏差の公式

確率変数Xに対して、Y = aX + b と変換したとき、Y の期待値と分散は以下のように求められます。

確率変数の変換＋公式を用いて解くアプローチと
変換を経由せずに直接、求めたいものを確率変数で置くアプローチ。

それぞれの解法がどのようになるのか、
実際の問題演習からチェックしましょう！

例題１：確率変数を用いて賞金の期待値を考える

賞金を確率変数X とする（変換をしない）

まずは変換を用いない解法から。

賞金を確率変数 X とします。

確率変数の取りうる値を考える

コインは3枚なので、表の枚数は
0枚・1枚・2枚・3枚 の4通りです。

それぞれについて、賞金を計算します。

表の枚数	裏の枚数	賞金
0	3	$0×100 + 3×10 = 30$
1	2	$1×100 + 2×10 = 120$
2	1	$2×100 + 1×10 = 210$
3	0	$3×100 + 0×10 = 300$

つまり $X=\{ 30, 120, 210, 300 \}$

確率分布を表にまとめる

金額ではなく、表のコインの枚数をもとに確率を計算します。

$X$	$30$	$120$	$210$	$300$	計
$P$	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{1}{8}$	$1$

期待値を計算をする

$E(X)=\dfrac{1}{8} (30 \times1​+120 \times3​+210 \times3​+300 \times1)​$

$=\dfrac{1}{8} (30 ​+360 ​+630 ​+300 )​$

$=\dfrac{1320}{8}$

$=165$

答え：165円

表のコインの枚数を確率変数X とする（変換をする）

次は変換を用いる解法。

ここでは直接金額を取るのではなく、
金額を決める要素である「表のコインの枚数」を
確率変数X とします。

確率変数の取りうる値を考える

投げるコインは３枚なので

$X=\{ 0, 1, 2, 3 \}$

確率分布を表にまとめる

表のコインの枚数をもとに確率を計算します。

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	計
$P$	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{1}{8}$	$1$

期待値を計算をする

$E(X)=\dfrac{1}{8} (0 \times1​+1 \times3​+2 \times3​+3 \times1)​$

$=\dfrac{1}{8} (0 ​+3 ​+6 ​+3 )​$

$=\dfrac{12}{8}$

$=\dfrac{3}{2}$

変換の公式を用いる

賞金を確率変数Y とします。

表のコインの枚数をX とすると、裏のコインの枚数は(3 – X)
表のコイン × 100円 ＋ 裏のコイン × 10円 が賞金なので

$Y=100\times X + 10 \times (3-X)$

これを整理すると
$Y=90X + 30$

確率変数変換の公式
$E[Y]=aE[X] + b$
を用いると

$E[Y]=90 \times \frac{3}{2} + 30$

$=165$

答え：165円

解法の比較

確率変数を変換しない解法は、
確率変数の宣言は簡単でした。

問われているものをそのまま宣言するだけなので。

しかし、確率変数の取り得る値のチェックや、その後の計算は複雑。

一方で、確率変数の変換をする解法は、
確率変数の宣言がやや難しいですね。

金額を決定している本質的な要素を自分で見抜く必要があります。

ただし、いったんそこさえクリアできれば後の計算はかなり単純。

この段階では、まだ「変換を用いる必要がある」とは言い切れません。。

さらにもう一題、例題を見てみましょう。

例題２：確率変数を用いて賞金の期待値を考える（金額設定を変更）

例題１と微妙に金額設定が変わった問題です。

賞金を確率変数X とする（変換をしない）

まずは確率変数の取り得る値から

表の枚数	裏の枚数	賞金
0	3	$0 \times 120 + 3 \times 15=45$
1	2	$1 \times 120 + 2 \times 15=150$
2	1	$2 \times 120 + 1 \times 15=255$
3	0	$3 \times 120 + 0 \times 15=360$

ここの処理がかなり面倒ですね。

つぎに確率分布を表でまとめて、
最後に期待値を計算する流れですが…

ここも先ほどと似たような処理をすべてやり直さないといけない。

この解法は設定の変更に弱いことが体感してもらえれば十分です。
もう一つの解法の方へ移りましょう。

表のコインの枚数を確率変数X とする（変換をする）

まずは表のコインの枚数の期待値を考えることからですが、
これはすでに例題１で行いました。

$E[X]=\dfrac{3}{2}$ を求めることろまではカットが可能です

残るは変換の処理。

金額を確率変数Y とすると

$Y=120\times X + 15 \times (3-X)$

これを整理すると
$Y=105X + 45$

公式を用いて期待値を求めると

$E[Y]=105 \times \frac{3}{2} + 45$
$=202.5$

答え：202.5円

解法の比較

変換をしない … 設定が変わったらやり直し
変換をする … 設定が変わっても使いまわせる

設定の変更に強いのは明らかに「変換をする解法」ですね。

確率変数の変換をする・しない 比較まとめ

二つの例題をそれぞれ

変換をしない解法
変換をする解法

で見てきました。

それぞれの解法の特徴を比較しましょう。

要素\解法	変換なし	変換あり
確率変数の宣言	簡単	難しい
確率分布を表にまとめる	複雑	単純
期待値の計算	少し複雑	単純
変換の処理	不要	必要
設定が変わった場合	やり直し	大部分はリユース可

定期テストや共通テストは時間との闘いです。

本質を見抜くことは難しいですが、
処理時間の短縮のためにも確率変数の変換をおすすめします。

また、もしも途中で設定が変わった場合の対応を考えても、
やはり確率変数の変換がオススメです。

定期テスト・共通テストで得点を伸ばしたい方へ

ここまでで「なぜ確率変数の変換が必要なのか」を解説しました。

こまでは「なぜ変換が必要か」を扱いました。
次の記事では「どうやって変換するか」を体系的に整理します。

「第3章｜確率変数の変換 Y = aX + b の期待値・分散」では、
今回扱わなかった分散の処理方法、別パターンの例題も用意しています！

高校数学B「統計的な推測」第3章｜確率変数の変換 Y = aX + b の期待値・分散をやさしく解説

高校数学B「統計的な推測」を一から学びたい方は、
統計的な推測シリーズの目録に進んでください、

【共通テスト攻略】高校数学B「統計的な推測」シリーズ目録