高校数学B「統計的な推測」二項定理と二項分布の関係｜やさしく解説
高校数学B「統計的な推測」で登場する二項分布。
高校数学Ⅱ「式と証明」で登場する二項定理。
これらの名前ってかなり似ていますよね？
じつはこれらは単に名前が似ているだけでなく
式どうしにも深いつながりがあります。
この記事では二項定理と二項分布の関係について、わかりやすく解説します。
- 「二項分布って何？」
- 「二項定理って何？」
- 「二項分布と二項定理の関係は？」
という疑問を持つ高校生・受験生の方は、ぜひここで基礎を固めて、統計的な推測への理解を深めましょう！
二項定理とは？
二項定理は、多項式（項が２つ）の式の累乗を展開するときに使う公式です。
このような公式を教科書で見たことがあると思います。
式で覚えるのは難しいので、
２項の累乗を展開するときに使う公式
で覚えておきましょう。
二項定理の使い方
(a + 2)⁵ を展開したときのa³ の係数を、
二項定理を用いて求めなさい。
二項定理を用いると、a³ の係数は以下のように表すことができます。
これを計算してみると…
よって求める係数は
このように、２項の累乗を展開するときに使うのが二項定理です。
二項分布とは？
二項分布とは、
結果が｛成功・失敗｝のように２通りの試行を n 回行うときの確率を表す分布です。
成功する確率がp の試行をn回行って、成功がちょうど回起こる確率は
このように表すことができます。
二項分布の使い方
サイコロを10回投げた時、３の倍数の目がちょうど2回出る確率を、
二項分布を用いて求めなさい。
３の倍数の目が出る確率は 1/3
それ以外の目が出る確率は 2/3
10回投げて３の倍数がちょうど6回出る確率は
このようにして確率を求めます。
二項定理と二項分布はどこがつながっているの？
二項定理は、項が２つ）の式の累乗を展開するときに使う公式
二項分布は、
結果が｛成功・失敗｝のように２通りの試行を n 回行うときの確率を表す分布
どちらも２つのもの（項や事象）について扱う式ですね。
２つのものから選んで～の工程があるため組み合わせC が用いられており、
その結果どちらも似た形の式になっています。
冒頭でも触れた通り、じつはこれらは単に名前が似ているだけでなく
式どうしにも深いつながりがあります。
その関係について詳しく見ていきましょう。
二項分布の総和が１であることが証明できる
二項定理の左辺に
a = 1 – p
b = p
を代入すると
このように表せます。
一方、二項定理の右辺にも同様の代入をすると
これは成功する確率がp の事象をn回行ったときに起こる結果の総和です。
コインを5回投げて表の回数を考える場合であれば
表が０回
表が１回
表が２回
表が３回
表が４回
表が５回
これらをすべて足したものになります。
代入した左辺と右辺で式を作ると
これは、
成功する確率がp の事象をn回行ったときに起こる結果の総和が１である
ということを表しています。
二項分布で起こりうる確率の総和が１である。
これは二項分布の公式が成立するための重要な条件です。
普段使っている公式が確率分布として成立している理由が、
実は二項定理の展開構造から説明できてしまう。
二項分布と二項定理には、単に名前や式が似ているだけでなく
このような関係があります。
まとめ
二項定理と二項分布の関係について解説をしました。
二項分布の確率の総和が１であることを証明するために二項定理が用いられる。
これら二つの関係として、しっかりと覚えておきましょう。
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