[高校数学B] 二項分布の期待値・分散・標準偏差の公式の証明方法をやさしく解説

高校数学B「統計的な推測」では、二項分布の期待値や分散の公式をよく使います。

でも、「この式、どうしてそうなるの？」と疑問に思ったことはありませんか？

このコラムでは、
ベルヌーイ試行の積み重ねとして、二項分布の公式がどのように導かれるのかを
わかりやすく解説します。

二項分布の公式証明の手順

1. ベルヌーイ分布、二項分布の確認
2. ベルヌーイ分布の公式を証明
3. 期待値と分散の「加法性」
4. 二項分布の公式を証明

の手順で公式の証明方法を見ていきましょう。

ベルヌーイ分布、二項分布とは簡単に

ベルヌーイ分布とは？

ベルヌーイ分布は、成功か失敗かの1回の試行だけに注目した確率分布です。

• コインを1回投げる
• 箱から球を1回だけ引く

成功する確率を p , 失敗する確率を 1 – p として考えることが多いです。

二項分布とは？

二項分布は、同じ確率で繰り返される試行（ベルヌーイ試行）をn回行ったとき、「成功した回数」が従う確率分布です。

例えば…

• コインを10回投げて、表が出た回数
  ➥コインの表が出る確率は1/2、これを10回繰り返している
• 赤玉が2個、白玉が3個入っている箱から球をひとつ取り出して元に戻す。これを５回行ったときに白玉を引いた回数
  ➥白玉を引く確率は3/5、これを5回繰り返している

なんかベルヌーイ分布と似てない？ と思った方は鋭いです！

次にベルヌーイ分布と二項分布の関係を説明します。

ベルヌーイ分布と二項分布の関係

同じ確率で繰り返される試行をベルヌーイ試行といいます。

• この試行を１回行った結果が従う分布がベルヌーイ分布
• この試行をｎ回行った結果が従う分布が二項分布

つまり、二項分布の特別なバージョン（試行回数が１回）がベルヌーイ分布です。

---

ここまででまずベルヌーイ分布と二項分布の確認を行いました。

これらの知識も定期テストや共通テストに役立つので、ぜひ整理しておきましょう。

ベルヌーイ分布の公式の証明

まず、成功確率を p 、失敗確率を 1 – p として、1回だけ試行を行うとき（ベルヌーイ分布）を考えます。

確率変数 Xi を「成功なら1、失敗なら0」としたとき

このとき、確率変数 は次のような分布になります。

Xi	P[Xi]	Xi × P[Xi]	Xi² × P[Xi]
0	1 – p	0	0
1	p	p	p
合計	1	p	p

表を参考にして期待値、分散を求めます。

このようにして、ベルヌーイ分布の期待値・分散の公式を証明することができます。

期待値・分散の計算方法に不安がある方は以下の記事で復習をしてください！

高校数学B「統計的な推測」 第2章｜期待値と分散・標準偏差をやさしく解説

期待値と分散の「加法性」

急に何の話？
と思うかもしれませんが、これは二項分布の公式の証明を簡単にするための必須な知識です。

期待値と分散の「加法性」とは

二項分布の公式（特に期待値や分散）を導出するうえで、重要な考え方が「加法性」です。

期待値や分散を足し合わせることができるかどうかは、複数の試行を扱うときに非常に役立ちます。

期待値と分散、それぞれの公式をチェックしていきましょう！

期待値の場合（常に成立）

期待値には常に加法性が成り立ちます。

これは、確率変数の線形性から導かれ、それぞれの試行が独立かどうかに関係なく常に成り立ちます。

分散の場合（独立なときのみ成立）

分散については次のような関係があります。

ここで、共分散 Cov(X,Y)が 0 のとき、つまりXとYが独立なときには、

期待値と同じような関係式が成り立ちます。

✅ まとめ：期待値はいつでも足せる。分散は独立なときだけ足せる！

二項分布の公式の証明

いよいよ今回のメイン、二項分布の証明です。

二項分布の証明では、確率分布を表にまとめて計算、の手法は使いません。

先に求めたベルヌーイ分布の公式と、期待値と分散の加法性、の考え方で証明を行います。

成功確率を p 、失敗確率を 1 – p として、n回だけ試行を行うとき、これはベルヌーイ試行をn回だけ行ったことになります。

n回目の確率変数をXn とおいて考えます。

それぞれの試行は独立なので、ここに独立な試行の期待値と分散の公式を提要すると…

これを整理すると

ちなみに 失敗する確率 1 – p を q で表すと…

ベルヌーイ試行の公式、独立な試行の期待値と分散の公式を活用すると、こんなに簡単に証明ができます。

まとめ

二項分布の期待値・分散の公式は、

• 1回の試行（ベルヌーイ分布）の性質
• ｎ回繰り返すという加法性

を組み合わせることで、きれいに導くことができます。

ただ暗記するのではなく、「なぜこの式になるのか？」を理解しておくことで、公式の信頼性もアップしますよ！

二項分布の公式証明の確認テスト｜このコラムの理解はバッチリ？

以下のポイントが自力で説明・再現できれば、このコラムはほぼマスターです！

• ベルヌーイ分布と二項分布の関係
• 二項分布の公式を導く手順
• 期待値・分散の加法性とは？

「ちょっと怪しいかも…」と思った箇所があれば、上に戻って再チェックしてみましょう！

---

▶︎ 高校数学B「統計的な推測」シリーズ全体の目録はこちら！

共通テスト・入試に向けて学習プランを立てて取り組みたい方は、学習相談・入塾相談などお気軽にお問い合わせください。

▶︎ [公式LINEに登録する]
▶︎ [お問い合わせフォームへ]