高校数学B「統計的な推測」 第5-1章 正規分布～正規分布って何？～｜グラフと平均・分散、標準正規分布を理解しよう！

「正規分布に入ってから一気によく分からなくなった」

高校数学B「統計的な推測」を学習する高校生からよくそんな声を聞きます。

正規分布の学習で気を付けてほしいことは、
すぐに正規分布の活用問題に進まないことです。

「正規分布自体の性質の理解」と「正規分布の活用法」。

これらは必ず分けて学習することをおすすめします。

この記事では正規分布自体の性質の理解、
特に「正規分布のグラフと平均・分散について」フォーカスした解説を行います。

このような疑問を持つ高校生・受験生の方は、ぜひここで基礎を固めて、
共通テスト数学の点数アップにつなげましょう！

▶︎ 高校数学B「統計的な推測」シリーズ目録・過去問解説のまとめはこちら！

正規分布って何？

正規分布とは、連続型確率分布の一種です。

平均値のまわりにデータが集まり、左右対称の「山なりの形」になる分布をとることが特徴です。

例えば、あるテストの点数や身長・測定値などをたくさん集めたとき

• 平均付近のデータが多い
• 平均から大きく離れるデータは少ない
• 平均を中心として左右がほぼ対称になる

という分布になることがあります。

このようなデータの分布を表す代表的な確率分布が正規分布です。

正規分布のグラフ

ある学校で統計的な推測の小テストを行って、その結果が正規分布に従うとすると…

グラフのように平均付近に人数が集まり、平均から離れるほど人数が少なくなります。

そのため、正規分布のグラフは山なりの形をとります。

正規分布の「平均」と「分散」とグラフの関係

次に覚えたいのが、正規分布における「平均」と「分散」とグラフの関係です。

これらの要素が変わるとグラフがどう変わるのか、
ひとつずつチェックしていきましょう。

正規分布の「平均」はグラフの中心

正規分布では、平均がグラフの中心になります。

例えば平均が70点のテストの点数が正規分布に従っているとすると、グラフの中心は70点になります。

平均が変わると、正規分布のグラフは左右に移動します。

平均点が50点から70点に変わった場合、
このように形はそのままで中心がずれていきます。

イメージとしては、平均値は二次関数における軸の位置と考えてもよいです。

分散は「データの広がり」

そもそも分散とは何かというと…

分散はデータのばらつき具合を表す指標でした。

分散が大きいほど、データが平均から広い範囲に分布します。

正規分布のグラフにおいて分散が表しているのは、
グラフの広がりです。

分散が大きくなると、平均から離れたデータが多くなります。

その結果、グラフの形が横に広がり、もとよりもなだらかになります。

平均値と比べると少し難しいですが、
正規分布のグラフにおける分散の表すものもしっかりと覚えましょう。

正規分布は $N(\mu,\sigma^2)$ と表す

先ほど確認したように、
正規分布における重要な要素は平均と分散です。

そのため、正規分布を以下のように表記します。

$平均値μ、標準偏差σの正規分布を\ N(μ,\ σ^2)\ と表記する。$

この記号を見るときは

• $\mu$：平均
• $\sigma^2$：分散

と考えればOKです。

例えば$N(70,\ 100)$

と書かれていたら
平均70、分散100の正規分布という意味です。

このとき標準偏差は

$σ= \sqrt{100}=10$

$分散＝（標準偏差）^2$ の関係は忘れないように注意してください。

正規分布の関数は覚えないとだめ？

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2π} ​σ}​e^{−\frac{(x−μ)^2​}{2σ^2}}$

平均がμ、標準偏差がσ の正規分布は上のような関数で表されますが
この関数自体は覚えなくても今後の学習に進めます！

※定期テストで出題される場合は、学校の先生の指示に従ってください。

標準正規分布とは？

最後にあと一つだけ覚えましょう。

正規分布の中でも、特に重要である標準正規分布についてです。

標準正規分布は、$$N(0,1)$$

で表されます。

つまり標準正規分布とは平均は０，分散が１の正規分布です。

標準正規分布は今後の学習で何度も登場するので、
ここで名前と意味だけでも覚えておきましょう。

まとめ

ここまでの内容をまとめると、次のようになります。

用語	意味
正規分布	連続型確率分布の一種
平均 $\mu$	分布の中心
分散 $\sigma^2$	データの広がりを表す
標準偏差 $\sigma$	分散の平方根
$N(\mu,\sigma^2)$	平均$\mu$、分散$\sigma^2$の正規分布
標準正規分布	平均0、分散1の正規分布
$N(0,1)$	標準正規分布の表し方

正規分布とは何か？からグラフと平均・分散、標準正規分布まで学習を進めました。

ここで正規分布自体の性質をつかんで、次回は正規分布の確率について学びましょう！

▶︎高校数学B「統計的な推測」シリーズ目録・過去問解説のまとめはこちら

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