高校数学B 「統計的な推測」 期待値・分散・標準偏差を求めよう！ 問題解説

この記事は、高校数学B 「統計的な推測」 期待値・分散・標準偏差を求める問題についての解説です。

この単元の考え方を学びたい方は
高校数学B「統計的な推測」 第2章 期待値・分散・標準偏差を求めるには？｜確率分布の活用
こちらの記事から読んでください。

この記事で扱う問題[PDF]

解答はこちら[PDF]

ここからは各問題についてどのように解けばよいのかの解説を行います。

確率分布を表にまとめよう！（１）の解説

確率変数Xの定義と取りうる値を考える

まずは確率変数Xを定義することから。

コインを３枚同時に投げた時の表が出る枚数を確率変数Xとする。

Xは０，１，２，３ のいずれかの値を取る。

確率分布を表にまとめる

まずは枠をつくります。

X	0	1	2	3	計
P

そして、確率変数Xがそれぞれの値を取る確率を計算します。

X = k (k=0, 1, 2, 3) の時の確率は $\frac{_3C_k}{2^3}$ なので

（ここは一つずつ地道に計算してもOKです。解説を短くするためにkについて解きました）

X	$0$	$1$	$2$	$3$	計
P	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{1}{8}$	$1$

E[X], E[x²] を計算

ここからすぐに期待値・分散を求めるのではなく、
先にE[X], E[x²] を計算します。

E[X] を計算するには
確率変数×それが起こる確率 を足し合わせます。

$E[X]= \frac{1}{8}(1 \times0+3\times1 +3 \times2 +1 \times3)$

$= \frac{3}{2}$

E[X²] を計算するには
（確率変数）²×それが起こる確率 を足し合わせます。

$E[X^2]= \frac{1}{8}(1 \times0^2+3\times1^2 +3 \times2^2 +1 \times3^2)$

$= 3$

期待値・分散・標準偏差を算出する

$E[X]= \frac{3}{2}$ $E[X^2]= 3$ 先ほど求めた値と

$V[X]= E[X^2]-(E[X])^2$

$σ= \sqrt{V[X]}$

これらの公式を用いて

E[X] … 期待値
V[X] … 分散
σ … 標準偏差

それぞれ算出します。

$E[X]= \frac{3}{2}$

$V[X]= E[X^2]-(E[X])^2$

$= 3-\frac{9}{4}$

$= \frac{3}{4}$

$σ= \sqrt{V[X]}$

$= { \frac{\sqrt{3}}{2}}$

確率分布を表にまとめよう！（２）の解説

確率変数Xの定義と取りうる値を考える

サイコロを３個同時に投げた時の、３の倍数の目が出るサイコロの個数を確率変数Xとする。

Xは０，１，２，３のいずれかの値を取る。

確率分布を表にまとめる

X	0	1	2	3	計
P

それぞれの確率を計算します。

X = k (k=0, 1, 2, 3) の時の確率は $_3C_k \times(\frac{1}{3})^k(\frac{2}{3})^{3-k}$ なので

（ここは一つずつ地道に計算してもOKです。解説を短くするためにkについて解きました）

X	$0$	$1$	$2$	$3$	計
P	$\dfrac{8}{27}$	$\dfrac{12}{27}$	$\dfrac{6}{27}$	$\dfrac{1}{27}$	$1$

E[X], E[x²] を計算

E[X] を計算するには
確率変数×それが起こる確率 を足し合わせます。

$E[X]= \frac{1}{27}(8 \times0+12\times1 +6 \times2 +1 \times3)$

$= 1$

E[X²] を計算するには
（確率変数）²×それが起こる確率 を足し合わせます。

$E[X^2]= \frac{1}{27}(8 \times0^2+12\times1^2 +6 \times2^2 +1 \times3^2)$

$= \frac{5}{3}$

期待値・分散・標準偏差を算出する

$E[X]= 1$ $E[X^2]= \frac{5}{3}$ 先ほど求めた値と

$V[X]= E[X^2]-(E[X])^2$

$σ= \sqrt{V[X]}$

これらの公式を用いて

E[X] … 期待値
V[X] … 分散
σ … 標準偏差

それぞれ算出します。

$E[X]= 1$

$V[X]= E[X^2]-(E[X])^2$

$= \frac{5}{3}-1$

$= \frac{2}{3}$

$σ= \sqrt{V[X]}$

$= { \frac{\sqrt{6}}{3}}$

確率分布を表にまとめよう！（３）の解説

確率変数Xの定義と取りうる値を考える

３人でじゃんけんを１回行う時の勝者の人数を確率変数Xとする。

Xは０，１，２のいずれかの値を取る。

確率分布を表にまとめる

X	0	1	2	計
P

それぞれの確率を計算します。

X = k (k=0, 1, 2) の時の確率は $\frac{1}{3}$ なので

（ここは一つずつ地道に計算してもOKです。解説を短くするためにkについて解きました）

X	$0$	$1$	$2$	計
P	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{3}$	$1$

E[X], E[x²] を計算

$E[X]= \frac{1}{3}(1 \times0+1\times1 +1 \times2 )$

$= 1$

$E[X^2]= \frac{1}{3}(1 \times0^2+1\times1^2 +1 \times2^2 )$

$= \frac{5}{3}$

期待値・分散・標準偏差を算出する

$E[X]= 1$ $E[X^2]= \frac{5}{3}$ 先ほど求めた値と

E[X] … 期待値
V[X] … 分散
σ … 標準偏差

それぞれ算出します。

$E[X]= 1$

$V[X]= E[X^2]-(E[X])^2$

$= \frac{5}{3}-1$

$= \frac{2}{3}$

$σ= \sqrt{V[X]}$

$= { \frac{\sqrt{6}}{3}}$

（２）と（３）は全く違う題材でしたが、期待値・分散・標準偏差すべて同じでした。

期待値・分散・標準偏差を求めよう！ 解法の整理

（１）（２）（３）で用いた解法の手順を整理しましょう。

どの問題もこの手順で解きました。

初見の問題を解く際にこの手順を意識してください。