[高校数学Ⅰ] 二次関数 計算間違えをしない平方完成のやり方をやさしく解説！

次の二次関数を平方完成せよ

$y=2x^2+4x-3$

やり方はなんとなく覚えているけど、テストになると意外と計算ミスをしてしまう…

このような悩みを持つ高校生をよく見かけます。

平方完成を含め、数学における多くの計算には
計算ミスを減らす方法があります。

それは手順を言語化して身に付けること。

この記事では「二次関数の平方完成」について、
数学が苦手な生徒に向けてやさしく解説します。

平方完成の手順を言語化して身に付けて、
定期テストや共通テストで安定して得点できるようになりましょう！

【共通テスト攻略】高校数学Ⅰ「二次関数」シリーズ目録はこちら！

平方完成とは？

平方完成とは、
2次式（ax² + bx + c）の形を、a(x + p)² + q のように「平方の形」に変形することを指します。

※平方とは二乗のことです

たとえば、

$y=x^2+6x+5$

という式は、以下のように変形できます。

$y=x^2+6x+5$

$y=(x+3)^2-4$

この変形のテクニックが「平方完成」です。

なんで平方完成が必要？

そもそもなぜ平方完成を行う必要があるのでしょうか？

平方完成には、その手間に見合うだけのメリットがいくつか存在します。

1. グラフの頂点がわかる

2次関数を平方完成すると、
グラフの頂点がどこにあるのかがすぐにわかります。

$y=(x+3)^2-4$

この場合、頂点は(-3, -4) と分かります。

頂点が分かると、二次関数のグラフを書くことができます。

二次関数のグラフの書き方に不安のある方は
[高校数学Ⅰ] 二次関数 グラフはこうやって書こう！｜マス目なしで書くコツも！
こちらをチェック！

2. 最大・最小値がわかる

平方完成の結果から、関数の最大値や最小値を簡単に読み取ることができます。

二次関数の最大値・最小値の求め方は以下の記事で詳しく解説しています。

[高校数学Ⅰ] 二次関数 簡単にできる最大値・最小値の求め方 やさしく解説！

二次関数のあらゆる問題を解くための基本操作が平方完成です。

ここで計算ミスをしてしまうと大量失点につながるため、
平方完成を正しく解くスキルは必須です。

計算間違えをしない、平方完成のやり方

手順を言語化して身に付ける

平方完成で計算ミスをしてしまう一番の原因は、「毎回の手順が定まっていない」ことです。

数値・パターンによってやり方を変えてしまうとフォームが定まらず、
スムーズに解けないうえに計算ミスの確率が増してしまいます。

まずは平方完成の手順について簡単にまとめます。

これら一つ一つの手順について、
以下でさらに具体的に説明をします。

1. 式を書く

まずは平方完成する式を書くことから。

係数の見間違えを防ぐためにも、平方完成する式を1行目にきちんと書きましょう。

2. x²の係数でくくる

x²の係数でくくります。

この時にくくるのはx², x の項まで。
定数項はくくらなくて大丈夫です。

x² の係数が分数の場合は特に計算ミスが起きやすいので、一度展開して元の式に戻るか必ず確認してください。

3. かっこ内を平方完成

中かっこを使って平方完成。

x² + 2x を平方完成するためには +1 が足りない。

なので、(x² + 2x + 1) – 1 として(x + 1)² を作りましょう！

4. 中かっこを外す

係数2 を(x + 1)², -1 に分配して中かっこを外します。

定数項 -3 の書き忘れに注意しましょう！

5. 定数項を整理

-2 -3 = -5
定数項を整理して完成です。

最後に、平方完成を展開したらはじめの式に戻るかを必ずチェックしましょう。

もしも元も式に戻らない場合は途中式を一つずつチェック。
これで計算ミスを防ぐことができます！

はじめのうちは途中式を飛ばさずにきちんと手順を守ることを意識してください。

＋α｜手順に慣れてきたら…

基本的な計算は、できる限り少ない手数、少ない時間でこなしたいですよね。

平方完成の手順に慣れてきたら少しずつ途中式を減らしましょう。

平方完成ができたら展開して元の式に戻るか必ずチェック！

注意！途中式を減らす際に気を付けること

基本的な手順は完璧に理解してる。
そのうえで式を省略してもスムーズに解ける。

そう確信したときに途中式を減らし始めましょう。

途中式を書くことが面倒だからといって、十分に身についていない状態で式を省略することはNGです。

途中式を外したせいでかえって時間がかかってしまう、計算が不正確になってしまう、となってしまっては本末転倒ですよね。

より少ない時間でこなすために途中式を省略する。

これは平方完成に限らず、どの問題の手順習得の際にも気を付けることです！

練習問題

以下の3問について、上で説明した手順を意識して平方完成してみましょう！

(1) の解き方

(1) はx² の係数が1のパターン。x² の係数でくくる必要がないだけで後はすべて手順通り。

(2) の解き方

(2) ははじめに与えられた式に定数項がないパターン。
このような微妙な例外に惑わされることなく、必要のない手順は飛ばす、を意識してください！

(3) の解き方

これは難しい… ではなく、これがスタンダードと思えるように練習しましょう！

---

どの問題も手順を守って解けましたか？

答えが間違ってしまっても今は大丈夫。
まずは手順をしっかり守って演習を蓄積しましょう！

まとめ

平方完成とは何か、平方完成のメリット、そして計算間違えをしない平方完成の手順について解説をしました。

学校のワークや課題で繰り返し平方完成の練習をして、定期テストや大学入試で得点できるように準備をしましょう！

平方完成の確認テスト｜この記事の理解はバッチリ？

以下のポイントが自力で説明・再現できれば、この記事はほぼマスターです！

• 平方完成って何？
• 平方完成ってどうしてするの？
• 計算ミスをしない平方完成の手順は？

「ちょっと怪しいかも…」と思った箇所があれば、上に戻って再チェックしてみましょう！

二次関数をまとめて整理したいかたへ

平方完成・グラフの書き方・判別式など、
二次関数を学ぶ上でつまずきやすいポイントをまとめています。

目録ページから自分に必要な単元の学習を行ってください！

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